SLAM数学描述

SLAM过程可总结为两个基本方程：

$ X_k=f(X_{k-1},U_k,W_k)$ 运动方程

$ Z_{k,j}=h(Y_j,X_k,V_{k,j})$ 观测方程

对于不同的传感器，这两个方程有不同的参数化形式。如果我们保持通用性，把它们取成抽象形式，那么SLAM过程可总结为上述两个基本方程。

这两个方程描述了最基本的SLAM问题：当我们知道运动测量的读数 u ,以及传感器的读数 z 时，如何求解定位问题（估计 x）和建图问题（估计 y）? 这时，我们把SLAM问题建模成了一个状态估计问题：如何通过带有噪声的测量数据，估计内部的、隐藏着的状态变量？

状态估计问题的求解，与两个方程的具体形式，以及噪声服从哪种分布有关。我们按照运动和观测方程是否为线性，噪声是否服从高斯分布进行分类，分为线性/非线性和高斯/非高斯系统。其中线性高斯系统（LG 系统）最为简单，他的无偏最优估计可以由卡尔曼滤波器（KF）给出。而在复杂的非线性非高斯系统（NLNG系统）中，我们会使用以扩展卡尔曼滤波器（EKF）和非线性优化两大类方法去求解它。时至今日，主流视觉SLAM使用以图优化（Graph Optimization）为代表的优化技术进行状态估计。我们以为优化技术已经明显优于滤波器技术，只要计算资源允许，我们通常都偏向于使用优化方法。

二、什么是运动？ 我们要考虑从 $ K-1 $ 时刻到 $ K $ 时刻，机器人的位置 $ X $ 是如何变化的。

通常，机器人会携带一个测量自身运动的传感器，比如说码盘或惯性传感器。这个传感器可以测量有关运动的读数，无论什么传感器，我们都能使用一个通用的、抽象的数学模型：

$ X_k=f(X_{k-1},U_k,W_k)$

这里的 $ U_k$ 是运动传感器的读数（有时也叫输入），$ W_k$ 为噪声。

三、什么是观测？ 假设机器人在$ K $ 时刻，于 $ X_k$ 处探测到了某一个路标 ,我们要考虑这件事情是如何用数学语言来描述的。

当机器人在 位置上看到某个路标点 ,产生了一个观测数据 ，用一个抽象的函数$ h $ 来描述这个关系：

$ Z_{k,j}=h(Y_j,X_k,V_{k,j})$

这里$ V_{k,j}$ 是这次观测里的噪声。