常用的数学公式

三角函数

这里是一些常用的三角函数计算公式：

1. 基本三角函数关系：

   • $\sin(\theta) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$
   • $\cos(\theta) = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$
   • $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$
   • $\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$
   • $\sin(180^\circ - \theta) = \sin(\theta)$

   旋转 $\frac{\pi}{2}$（即 90度）：

   • $\sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\theta)$
   • $\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(\theta)$
   • $\tan\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\cot(\theta)$

   旋转 $\pi$（即 180度）：

   • $\sin(\theta + \pi) = -\sin(\theta)$
   • $\cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta)$
   • $\tan(\theta + \pi) = \tan(\theta)$

   旋转 $\frac{3\pi}{2}$（即 270度）：

   • $\sin\left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos(\theta)$
   • $\cos\left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin(\theta)$
   • $\tan\left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = \cot(\theta)$

   **奇变偶不变，符号看象限**

2. 单位圆上的三角函数：

   • 对于单位圆上的角度 $\theta$：
     • $\sin(\theta) = y$
     • $\cos(\theta) = x$
     • $\tan(\theta) = \frac{y}{x}$

3. 三角恒等式：

   • $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$
   • $1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$
   • $1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)$

4. 两角和与差公式：

   • $\sin(a \pm b) = \sin(a)\cos(b) \pm \cos(a)\sin(b)$
   • $\cos(a \pm b) = \cos(a)\cos(b) \mp \sin(a)\sin(b)$
   • $\tan(a \pm b) = \frac{\tan(a) \pm \tan(b)}{1 \mp \tan(a)\tan(b)}$

5. 倍角公式：

   • $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$
   • $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$
   • $\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)}$

6. 半角公式：

   • $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\theta)}{2}}$
   • $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(\theta)}{2}}$
   • $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\theta)}{1 + \cos(\theta)}} = \frac{\sin(\theta)}{1 + \cos(\theta)} = \frac{1 - \cos(\theta)}{\sin(\theta)}$

7. 积化和差公式：

   • $\sin(a)\sin(b) = \frac{1}{2}[\cos(a - b) - \cos(a + b)]$
   • $\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$
   • $\sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\sin(a + b) + \sin(a - b)]$

8. 利用角度的补角：

• $\sin(\theta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$
• $\cos(\theta) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$

9. 利用角度的和差公式：

• $\sin(\theta + \phi) = \sin(\theta)\cos(\phi) + \cos(\theta)\sin(\phi)$
• $\cos(\theta + \phi) = \cos(\theta)\cos(\phi) - \sin(\theta)\sin(\phi)$

欧拉公式

欧拉公式是数学中一个非常重要的公式，尤其在复数分析和工程应用中。它将复指数函数与三角函数联系起来，具体表达为：

$ e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta) $

其中：

• $ e $ 是自然对数的底数（约等于 2.71828）。
• $ j $ 是虚数单位（在工程和物理中，通常用 $ i $ 表示）。
• $ \theta $ 是一个实数角度，以弧度为单位。

几种常见形式

1. 标准形式： $ e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta) $

2. 当 $\theta = \pi$ 时： $ e^{j\pi} = \cos(\pi) + j\sin(\pi) = -1 $ 这是著名的欧拉等式： $ e^{j\pi} + 1 = 0 $

3. 当 $\theta = 0$ 时： $ e^{j \cdot 0} = \cos(0) + j\sin(0) = 1 $